nvrl/Mathe-II-Informatik-Merkblatt
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases 1 Wiki Activity

fixed plus minus and Numberspaces
All checks were successful
Build Typst PDF / build (push) Successful in 8s
Details

Browse Source
This commit is contained in:
Nils Pukropp
2026-02-12 17:31:59 +01:00
parent d0d57c5ffa
commit 75e91d0ff8
1 changed files with 10 additions and 18 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

28
src/mathe_2_merkblatt.typ
View File

@@ -130,14 +130,6 @@
#let Hess = math.op("Hess") #let Hess = math.op("Hess")
#let ggT = math.op("ggT") #let ggT = math.op("ggT")
// Zahlbereiche
#let RR = math.bb("R")
#let ZZ = math.bb("Z")
#let NN = math.bb("N")
#let QQ = math.bb("Q")
#let CC = math.bb("C")
#let FF = math.bb("F")
// CONTENT // CONTENT
= Analysis (Mehrdimensional) = Analysis (Mehrdimensional)
@@ -185,8 +177,8 @@ $ (partial f) / (partial v) (x) = nabla f(x) dot v / ||v|| $
= Zahlentheorie = Zahlentheorie
== Modulo-Rechnung == Modulo-Rechnung
$\ZZ_n = \{0, ..., n-1\}$. Rechnen mit Rest. $ZZ_n = \{0, ..., n-1\}$. Rechnen mit Rest.
- *Einheiten* $\ZZ_n^*$: Elemente $a in \ZZ_n$ mit $ggT(a, n) = 1$. - *Einheiten* $ZZ_n^*$: Elemente $a in ZZ_n$ mit $ggT(a, n) = 1$.
- *Euler $phi(n)$*: Anzahl der Einheiten. - *Euler $phi(n)$*: Anzahl der Einheiten.
- $p$ prim: $phi(p) = p-1$. - $p$ prim: $phi(p) = p-1$.
- $n = p dot q$: $phi(n) = (p-1)(q-1)$. - $n = p dot q$: $phi(n) = (p-1)(q-1)$.
@@ -199,7 +191,7 @@ $\ZZ_n = \{0, ..., n-1\}$. Rechnen mit Rest.
*Satz von Euler:* $ggT(a, n) = 1$: *Satz von Euler:* $ggT(a, n) = 1$:
$ a^phi(n) equiv 1 mod n $ $ a^phi(n) equiv 1 mod n $
] ]
- *Anwendung (Inverse):* In $\ZZ_n$ ist $a^(-1) = a^(phi(n)-1) mod n$. - *Anwendung (Inverse):* In $ZZ_n$ ist $a^(-1) = a^(phi(n)-1) mod n$.
- *Schnelle Exponentiation:* - *Schnelle Exponentiation:*
Berechne $b^e mod m$. Berechne $b^e mod m$.
1. Exponent $e$ binär schreiben. 1. Exponent $e$ binär schreiben.
@@ -294,7 +286,7 @@ Ist $A = A^T$, dann:
= Euklidische Vektorräume = Euklidische Vektorräume
== Skalarprodukt & Norm == Skalarprodukt & Norm
Standard $\RR^n$: $chevron.l u, v chevron.r = u^T v = sum u_i v_i$. Standard $RR^n$: $chevron.l u, v chevron.r = u^T v = sum u_i v_i$.
- Norm: $||u|| = sqrt(chevron.l u\, u chevron.r)$. - Norm: $||u|| = sqrt(chevron.l u\, u chevron.r)$.
- Winkel: $cos alpha = chevron.l u, v chevron.r / (||u|| dot ||v||)$. - Winkel: $cos alpha = chevron.l u, v chevron.r / (||u|| dot ||v||)$.
- Orthogonal: $chevron.l u, v chevron.r = 0$. - Orthogonal: $chevron.l u, v chevron.r = 0$.
@@ -309,7 +301,7 @@ Aus Basis $v_1, ..., v_n$ mache Orthonormalbasis $b_1, ..., b_n$.
== Orthogonale Matrizen $Q$ == Orthogonale Matrizen $Q$
$Q^T Q = I$ ($Q^(-1) = Q^T$). Spalten bilden ONB. $Q^T Q = I$ ($Q^(-1) = Q^T$). Spalten bilden ONB.
Längentreu ($||Q x|| = ||x||$) und winkeltreu. Längentreu ($||Q x|| = ||x||$) und winkeltreu.
Determinante ist $\pm 1$. Determinante ist $plus.minus 1$.
- *Drehmatrix (2D):* $mat(cos alpha, -sin alpha; sin alpha, cos alpha)$. - *Drehmatrix (2D):* $mat(cos alpha, -sin alpha; sin alpha, cos alpha)$.
- *Drehmatrix (3D):* Drehung um Achse $a$. Ein EW ist 1 (Achse). Spur ist $1 + 2 cos(alpha)$. - *Drehmatrix (3D):* Drehung um Achse $a$. Ein EW ist 1 (Achse). Spur ist $1 + 2 cos(alpha)$.
@@ -317,7 +309,7 @@ Determinante ist $\pm 1$.
= Kodierungstheorie = Kodierungstheorie
Lineare Codes $C subset RR^n$ (meist $\FF_2, \FF_3, \FF_5$). Lineare Codes $C subset RR^n$ (meist $FF_2, FF_3, FF_5$).
Parameter $[n, k, d]$: Länge $n$, Dimension $k$, Minimaldistanz $d$. Parameter $[n, k, d]$: Länge $n$, Dimension $k$, Minimaldistanz $d$.
== Erzeugermatrix $G$ ($k times n$) == Erzeugermatrix $G$ ($k times n$)
@@ -356,16 +348,16 @@ Empfangenes Wort $r = c + e$ (Code + Fehler).
#defbox[Gruppen $(G, dot)$][ #defbox[Gruppen $(G, dot)$][
Assoziativ, Neutrales $e$, Inverses $a^(-1)$. Assoziativ, Neutrales $e$, Inverses $a^(-1)$.
- *Abelsch:* + Kommutativ. - *Abelsch:* + Kommutativ.
- *Zyklisch:* Ein Erzeuger $g$ generiert ganze Gruppe ($g^k$). $\ZZ_n$ ist zyklisch (Erzeuger 1). - *Zyklisch:* Ein Erzeuger $g$ generiert ganze Gruppe ($g^k$). $ZZ_n$ ist zyklisch (Erzeuger 1).
- *Ordnung:* $|G|$ Anzahl Elemente. Satz von Lagrange: $|U|$ teilt $|G|$. - *Ordnung:* $|G|$ Anzahl Elemente. Satz von Lagrange: $|U|$ teilt $|G|$.
] ]
*Untergruppen:* Teilmenge, abgeschlossen bzgl. Op. und Inverse. *Untergruppen:* Teilmenge, abgeschlossen bzgl. Op. und Inverse.
*Isomorphie:* $\ZZ_(n m) tilde.eq \ZZ_n times \ZZ_m$ gdw. $ggT(n,m)=1$. *Isomorphie:* $ZZ_(n m) tilde.eq ZZ_n times ZZ_m$ gdw. $ggT(n,m)=1$.
#defbox[Körper $(K, +, dot)$][ #defbox[Körper $(K, +, dot)$][
$(K, +)$ abelsche Grp, $(K without \{0\}, dot)$ abelsche Grp, Distributiv. $(K, +)$ abelsche Grp, $(K without \{0\}, dot)$ abelsche Grp, Distributiv.
Beispiele: $\RR, \QQ, \CC, \ZZ_p$ ($p$ prim). Beispiele: $RR, QQ, g, ZZ_p$ ($p$ prim).
$\ZZ_n$ ist kein Körper wenn $n$ nicht prim (Nullteiler!). $ZZ_n$ ist kein Körper wenn $n$ nicht prim (Nullteiler!).
] ]
*Polynomring $K[x]$:* Division mit Rest möglich. *Polynomring $K[x]$:* Division mit Rest möglich.