init

2026-02-12 15:43:35 +01:00
commit 5dbb792f9d
3 changed files with 422 additions and 0 deletions
--- a/.gitignore
+++ b/.gitignore
@@ -0,0 +1 @@
+build/
--- a/build.sh
+++ b/build.sh
@@ -0,0 +1,44 @@
+#!/bin/bash
+
+# Define ANSI Color Codes
+RED='\033[0;31m'
+GREEN='\033[0;32m'
+BLUE='\033[0;34m'
+YELLOW='\033[1;33m'
+CYAN='\033[0;36m'
+NC='\033[0m' # No Color (Reset)
+
+SOURCE="./src/mathe_2_merkblatt.typ"
+BUILD_DIR="./build"
+
+# Check if Build Directory exists
+if [ ! -d "$BUILD_DIR" ]; then
+    echo -e "${BLUE}[INFO]${NC} Creating build directory: $BUILD_DIR"
+    mkdir -p "$BUILD_DIR"
+fi
+
+# Check if Source File exists
+if [ ! -f "$SOURCE" ]; then
+    echo -e "${RED}[ERROR]${NC} Source file '$SOURCE' not found!"
+    exit 1
+fi
+
+echo -e "${YELLOW}Starting compilation...${NC}"
+
+# Compile Dark Mode
+typst compile --input dark-mode=true "$SOURCE" "${BUILD_DIR}/mathe_2_merkblatt_dark.pdf"
+if [ $? -eq 0 ]; then
+    echo -e "${GREEN}[SUCCESS]${NC} Darkmode build: ${CYAN}${BUILD_DIR}/mathe_2_merkblatt_dark.pdf${NC}"
+else
+    echo -e "${RED}[FAIL]${NC} Error compiling Darkmode target"
+fi
+
+# Compile Light Mode
+typst compile --input dark-mode=false "$SOURCE" "${BUILD_DIR}/mathe_2_merkblatt_light.pdf"
+if [ $? -eq 0 ]; then
+    echo -e "${GREEN}[SUCCESS]${NC} Lightmode build: ${CYAN}${BUILD_DIR}/mathe_2_merkblatt_light.pdf${NC}"
+else
+    echo -e "${RED}[FAIL]${NC} Error compiling Lightmode target"
+fi
+
+echo -e "${YELLOW}Build process finished!${NC}"
--- a/src/mathe_2_merkblatt.typ
+++ b/src/mathe_2_merkblatt.typ
@@ -0,0 +1,377 @@
+// THEME SETUP
+#let dark-mode = sys.inputs.at("dark-mode", default: "true") == "true"
+
+// Catppuccin Farben Definition
+#let palette = if dark-mode {
+  (
+    bg: rgb("#1e1e2e"),
+    fg: rgb("#cdd6f4"),
+    base: rgb("#181825"),
+    blue: rgb("#89b4fa"),
+    red: rgb("#f38ba8"),
+    teal: rgb("#94e2d5"),
+    subtext: rgb("#a6adc8"),
+    surface: rgb("#313244"),
+    line: rgb("#45475a")
+  )
+} else {
+  (
+    bg: rgb("#FFFFFF"),
+    fg: rgb("#232634"),
+    base: rgb("#303446"),
+    blue: rgb("#8caaee"),
+    red: rgb("#e78284"),
+    teal: rgb("#81c8be"),
+    subtext: rgb("#b5bfe2"),
+    surface: rgb("#414559"),
+    line: rgb("#bcc0cc")
+  )
+}
+
+// SETUP & DESIGN
+#set page(
+  paper: "a4",
+  flipped: true, 
+  margin: (top: 1cm, left: 1cm, right: 1cm, bottom: 1.5cm), 
+  fill: palette.bg,
+  footer: [
+    #set text(fill: palette.fg, size: 7pt)
+    #block(width: 100%, inset: (top: 0.5em))[
+      #line(length: 100%, stroke: 0.5pt + palette.line)
+      #v(0.2em)
+      #grid(
+        columns: (1fr, 2fr, 1fr),
+        align: (left, center, right),
+        
+        [Nils Pukropp],
+        
+        [
+          #link("mailto:nils@narl.io") #h(1em) | #h(1em) 
+          #link("https://git.narl.io/nvrl/Mathe-II-f-r-Informatiker-Merkblatt")[#underline[https://git.narl.io/nvrl/Mathe-II-f-r-Informatiker-Merkblatt]]
+        ],
+        [Stand: WS2026]
+      )
+    ]
+  ],
+  footer-descent: 0.3cm 
+)
+
+#set text(
+  font: "FiraCode Nerd Font",
+  size: 7pt, 
+  lang: "de",
+  fill: palette.fg
+)
+
+// Spalten-Layout
+#show: columns.with(3, gutter: 1.5em)
+
+#set heading(numbering: none)
+
+#show heading.where(level: 1): it => block(
+  width: 100%,
+  above: 1.5em,
+  below: 0.8em,
+  fill: palette.blue,
+  inset: (x: 4pt, y: 3pt),
+  radius: 2pt,
+  text(fill: palette.bg, weight: "bold", 10pt, upper(it.body))
+)
+
+#show heading.where(level: 2): it => block(
+  width: 100%,
+  above: 1.2em,
+  below: 0.6em,
+  sticky: true,
+  {
+    text(fill: palette.red, weight: "bold", it.body)
+    v(0.1em)
+    line(length: 100%, stroke: 0.5pt + palette.line)
+  }
+)
+
+// HILFSFUNKTIONEN
+
+#let defbox(title, body) = block(
+  width: 100%,
+  fill: palette.teal.lighten(if dark-mode { 60% } else { 90% }),
+  stroke: (left: 2pt + palette.teal),
+  inset: 5pt,
+  radius: (right: 2pt),
+  above: 1em,
+  below: 1em, 
+  breakable: false,
+  [#text(fill: if dark-mode { palette.bg } else { palette.fg })[#strong(title): #body]]
+)
+
+#let alertbox(body) = block(
+  width: 100%,
+  fill: palette.surface.lighten(if dark-mode { 10% } else { 50% }),
+  stroke: 0.5pt + palette.line,
+  inset: 5pt,
+  radius: 3pt,
+  above: 1em,
+  below: 1em,
+  breakable: false,
+  [#text(fill: palette.fg)[#body]]
+)
+
+// Operatoren & Symbole
+#let rang = math.op("Rang")
+#let ker = math.op("Kern")
+#let bild = math.op("Bild")
+#let span = math.op("span")
+#let dim = math.op("dim")
+#let spur = math.op("Spur")
+#let id = math.bb("1")
+#let grad = math.op("grad")
+#let div = math.op("div")
+#let rot = math.op("rot")
+#let Hess = math.op("Hess")
+#let ggT = math.op("ggT")
+
+// Zahlbereiche
+#let RR = math.bb("R")
+#let ZZ = math.bb("Z")
+#let NN = math.bb("N")
+#let QQ = math.bb("Q")
+#let CC = math.bb("C")
+#let FF = math.bb("F")
+
+// CONTENT
+
+= Analysis (Mehrdimensional)
+
+#defbox[Gradient & Hesse-Matrix][
+  Für $f: RR^n -> RR$:
+  - *Gradient:* $nabla f(x) = (partial_1 f, ..., partial_n f)^T$
+  - *Hesse-Matrix:* $H_f (x) = ( (partial^2 f) / (partial x_i partial x_j) )_(i,j)$
+  (Symmetrisch nach Satz von Schwarz)
+]
+
+== Stationäre Punkte & Extrema
+1. *Notwendig:* Berechne $nabla f(x) = 0$. Löse LGS.
+2. *Hinreichend:* Prüfe Definitheit von $H_f(x_0)$.
+
+#alertbox[
+  *Definitheit der Hesse-Matrix $H_f(x_0)$*:
+  - *Positiv definit* ($>0$): *Lokales Minimum*
+  - *Negativ definit* ($<0$): *Lokales Maximum*
+  - *Indefinit:* *Sattelpunkt*
+]
+
+== Hurwitz-Kriterium (Definitheit)
+Für symmetrische Matrix $A in RR^(n times n)$. Betrachte Hauptminoren $D_k$ (Det. der oberen linken $k times k$ Untermatrix).
+- *Pos. Def.:* Alle $D_k > 0$ ($D_1 > 0, D_2 > 0, ...$)
+- *Neg. Def.:* Vorzeichenwechsel beginnend mit Minus ($- + - + ...$), d.h. $D_1 < 0, D_2 > 0, D_3 < 0 ...$
+- *Indefinit:* $det(A) != 0$, aber kein Muster oben passt.
+- *Semidefinit:* Wenn $det(A)=0$ (Eigenwerte prüfen!).
+*Spezialfall $2 times 2$:* $H_f = mat(f_(x x), f_(x y); f_(y x), f_(y y))$
+- $det(H) > 0$ und $f_(x x) > 0 =>$ Minimum.
+- $det(H) > 0$ und $f_(x x) < 0 =>$ Maximum.
+- $det(H) < 0 =>$ Sattelpunkt.
+
+== Richtungsableitung
+Ableitung in Punkt $x$ in Richtung $v$ ($v$ muss normiert sein! $||v||=1$):
+$ (partial f) / (partial v) (x) = nabla f(x) dot v / ||v|| $
+
+== Konvexität
+- $f$ konvex $<=> H_f(x)$ positiv (semi-)definit für alle $x$.
+- $f$ konkav $<=> H_f(x)$ negativ (semi-)definit für alle $x$.
+- $S$ konvex: Verbindungslinie zweier Punkte liegt in $S$.
+
+#colbreak()
+
+= Zahlentheorie
+
+== Modulo-Rechnung
+$\ZZ_n = \{0, ..., n-1\}$. Rechnen mit Rest.
+- *Einheiten* $\ZZ_n^*$: Elemente $a in \ZZ_n$ mit $ggT(a, n) = 1$.
+- *Euler $phi(n)$*: Anzahl der Einheiten.
+  - $p$ prim: $phi(p) = p-1$.
+  - $n = p dot q$: $phi(n) = (p-1)(q-1)$.
+  - $n = p^k$: $phi(p^k) = p^k - p^(k-1)$.
+
+== Wichtige Sätze
+#alertbox[
+  *Kleiner Fermat:* $p$ prim, $a$ kein Vielfaches:
+  $ a^(p-1) equiv 1 mod p $
+  *Satz von Euler:* $ggT(a, n) = 1$:
+  $ a^phi(n) equiv 1 mod n $
+]
+- *Anwendung (Inverse):* In $\ZZ_n$ ist $a^(-1) = a^(phi(n)-1) mod n$.
+- *Schnelle Exponentiation:*
+Berechne $b^e mod m$.
+1. Exponent $e$ binär schreiben.
+2. Quadrieren und bei 1 multiplizieren (Square & Multiply).
+3. Oder: $e$ reduzieren modulo $phi(m)$ (falls Basis $b$ teilerfremd zu $m$!).
+
+== Euklidischer Algorithmus (ggT)
+Zur Berechnung von $ggT(a, b)$ und $s, t$ mit $ggT(a,b) = s dot a + t dot b$.
+Beispiel $ggT(12, 7)$:
+$12 = 1 dot 7 + 5 => 5 = 12 - 1 dot 7$
+$7 = 1 dot 5 + 2 => 2 = 7 - 1 dot 5 = 7 - (12-7) = 2 dot 7 - 1 dot 12$
+$5 = 2 dot 2 + 1 => 1 = 5 - 2 dot 2 = (12-7) - 2(2 dot 7 - 12) = 3 dot 12 - 5 dot 7$
+$=> 1 = 3 dot 12 + (-5) dot 7$. Inverse von 7 mod 12 ist -5 (=7).
+
+== Chinesischer Restsatz (CRT)
+Löse System: $x equiv a_i mod m_i$ (moduli $m_i$ paarweise teilerfremd).
+$M = product m_i, quad M_i = M / m_i$.
+Löse $M_i y_i equiv 1 mod m_i$ (Inverse von $M_i$).
+Lösung: $x = sum_(i) a_i M_i y_i mod M$.
+
+#colbreak()
+
+= Lineare Algebra: Matrizen
+
+== Matrizen & LGS
+$A in K^(m times n)$. LGS $A x = b$.
+*Gauß-Verfahren:* Auf Zeilenstufenform bringen.
+- Rang $r$: Anzahl der Stufen (Nicht-Null-Zeilen).
+- $r = n$: Eindeutige Lsg. (bei hom. nur 0).
+- $r < n$: Unendlich viele Lsg. ($n-r$ Parameter frei).
+- $r < m$: Lösbar nur wenn Nullzeilen rechts 0 sind.
+
+== Determinante (nur $n times n$)
+- $det(A) != 0 <=> A$ invertierbar $<=> rang(A)=n$.
+- $2 times 2$: $det mat(a, b; c, d) = a d - b c$.
+- $3 times 3$: Sarrus (Jägerzaun).
+- $n times n$: Laplace (Entwicklung nach Zeile/Spalte mit vielen 0).
+- Regeln: $det(A B) = det A det B$, $det(A^T) = det A$.
+- $det(lambda A) = lambda^n det A$.
+
+== Inverse Matrix
+$A^(-1)$ existiert nur wenn $det A != 0$.
+- $2 times 2$: $A^(-1) = 1/(det A) mat(d, -b; -c, a)$.
+- Allgemein: Gauß $(A | I_n) -> (I_n | A^(-1))$.
+
+= Lineare Abbildungen
+
+$phi: V -> W$ linear ($phi(v+w)=phi(v)+phi(w), phi(c v)=c phi(v)$).
+- *Bild:* Spaltenraum der Matrix $A$. $dim(bild) = rang(A)$.
+- *Kern:* Lösungsraum von $A x = 0$.
+#alertbox[
+  *Dimensionssatz:*
+  $ dim(V) = dim(ker(phi)) + dim(bild(phi)) $
+  $ n = "Anzahl freie Parameter" + rang(A) $
+]
+- *Injektiv:* $ker(phi) = \{0\}$.
+- *Surjektiv:* $bild(phi) = W$ (Rang = Zeilenzahl).
+- *Bijektiv:* $n=m$ und Determinante $!= 0$.
+
+== Abbildungsmatrix
+$M_B^C(phi)$: Matrix bzgl. Basis $B$ (Start) und $C$ (Ziel).
+Spalten sind Bilder der Basisvektoren von $B$, dargestellt in $C$.
+$ "Spalte" j = phi(b_j)_C $
+*Basiswechsel:* $M_B^C(id)$ transformiert von $B$ nach $C$.
+$A' = T^(-1) A T$ (wenn $T$ Transformationsmatrix).
+
+#colbreak()
+
+= Eigenwerte (EW) & Diagonalisierung
+
+1. *Charakteristisches Polynom:* $P_A(lambda) = det(A - lambda I) = 0$.
+2. Nullstellen sind EW $lambda_i$.
+   - *Alg. Vielfachheit:* Potenz im Polynom.
+   - *Geom. Vielfachheit:* $dim(ker(A - lambda_i I)) = n - rang(A - lambda_i I)$.
+3. *Eigenraum:* $E_lambda = ker(A - lambda I)$ (LGS lösen).
+
+#alertbox[
+  *Diagonalisierbar gdw:*
+  1. $P_A$ zerfällt komplett in Linearfaktoren.
+  2. Für jeden EW gilt: *Alg. VFH = Geom. VFH*.
+  Symmetrische Matrizen sind *immer* diagonalisierbar!
+]
+Matrix $D = S^(-1) A S$ (Diagonalmatrix mit EW).
+$S$: Spalten sind die Eigenvektoren.
+
+== Spektralsatz (Symmetrische Matrizen)
+Ist $A = A^T$, dann:
+- Alle EW sind reell.
+- $A$ ist orthogonal diagonalisierbar: $D = Q^T A Q$ mit $Q^T = Q^(-1)$.
+- Eigenvektoren zu versch. EW sind *orthogonal*.
+
+= Euklidische Vektorräume
+
+== Skalarprodukt & Norm
+Standard $\RR^n$: $chevron.l u, v chevron.r = u^T v = sum u_i v_i$.
+- Norm: $||u|| = sqrt(chevron.l u\, u chevron.r)$.
+- Winkel: $cos alpha = chevron.l u, v chevron.r / (||u|| dot ||v||)$.
+- Orthogonal: $chevron.l u, v chevron.r = 0$.
+
+== Gram-Schmidt (ONB)
+Aus Basis $v_1, ..., v_n$ mache Orthonormalbasis $b_1, ..., b_n$.
+1. $u_1 = v_1$, dann $b_1 = u_1 / ||u_1||$.
+2. $u_2 = v_2 - chevron.l v_2, b_1 chevron.r b_1$, dann $b_2 = u_2 / ||u_2||$.
+3. $u_k = v_k - sum_(j=1)^(k-1) chevron.l v_k, b_j chevron.r b_j$.
+4. $b_k = u_k / ||u_k||$.
+
+== Orthogonale Matrizen $Q$
+$Q^T Q = I$ ($Q^(-1) = Q^T$). Spalten bilden ONB.
+Längentreu ($||Q x|| = ||x||$) und winkeltreu.
+Determinante ist $\pm 1$.
+*Drehmatrix (2D):* $mat(cos alpha, -sin alpha; sin alpha, cos alpha)$.
+*Drehmatrix (3D):* Drehung um Achse $a$. Ein EW ist 1 (Achse). Spur ist $1 + 2 cos(alpha)$.
+
+#colbreak()
+
+= Kodierungstheorie
+
+Lineare Codes $C subset RR^n$ (meist $\FF_2, \FF_3, \FF_5$).
+Parameter $[n, k, d]$: Länge $n$, Dimension $k$, Minimaldistanz $d$.
+
+== Erzeugermatrix $G$ ($k times n$)
+Zeilen bilden Basis von $C$. $G$ in Stufenform bringen um Dimension zu sehen.
+Standardform: $G = (I_k | A)$.
+Codierung: $x -> x G$.
+
+== Prüfmatrix $H$ ($(n-k) times n$)
+Es gilt: $G H^T = 0$.
+Wenn $G = (I_k | A)$, dann $H = (-A^T | I_(n-k))$.
+(Im Binären ist $-A = A$, also $H = (A^T | I_(n-k))$).
+Code ist Kern von $H$: $c in C <=> H c^T = 0$.
+
+== Minimaldistanz & Fehler
+- *Hamming-Gewicht* $w(x)$: Anzahl Einträge $!= 0$.
+- *Minimaldistanz* $d_(min) = min \{w(c) | c in C, c != 0\}$.
+- $d_(min)$ ist auch das minimale Gewicht der Spalten von $H$, die linear abhängig sind (oft die kleinste Anzahl linear abh. Spalten).
+#alertbox[
+  *Erkennung:* $d-1$ Fehler erkennbar.
+  *Korrektur:* $e = floor((d-1)/2)$ Fehler korrigierbar.
+  ($d=3 => 1$ Fehler, $d=5 => 2$ Fehler)
+]
+
+== Dekodierung (Syndrom)
+Empfangenes Wort $r = c + e$ (Code + Fehler).
+1. Berechne *Syndrom* $S = H r^T$.
+2. Wenn $S = 0 =>$ kein Fehler.
+3. Wenn $S != 0$: Suche Spalte in $H$, die Vielfaches von $S$ ist.
+   - Position der Spalte = Position des Fehlers.
+   - Wert des Fehlers aus Faktor bestimmen.
+
+#colbreak()
+
+= Algebraische Strukturen
+
+#defbox[Gruppen $(G, dot)$][
+  Assoziativ, Neutrales $e$, Inverses $a^(-1)$.
+  - *Abelsch:* + Kommutativ.
+  - *Zyklisch:* Ein Erzeuger $g$ generiert ganze Gruppe ($g^k$). $\ZZ_n$ ist zyklisch (Erzeuger 1).
+  - *Ordnung:* $|G|$ Anzahl Elemente. Satz von Lagrange: $|U|$ teilt $|G|$.
+]
+*Untergruppen:* Teilmenge, abgeschlossen bzgl. Op. und Inverse.
+*Isomorphie:* $\ZZ_(n m) tilde.eq \ZZ_n times \ZZ_m$ gdw. $ggT(n,m)=1$.
+
+#defbox[Körper $(K, +, dot)$][
+  $(K, +)$ abelsche Grp, $(K without \{0\}, dot)$ abelsche Grp, Distributiv.
+  Beispiele: $\RR, \QQ, \CC, \ZZ_p$ ($p$ prim).
+  $\ZZ_n$ ist kein Körper wenn $n$ nicht prim (Nullteiler!).
+]
+*Polynomring $K[x]$:* Division mit Rest möglich.
+
+= Diverses & Tipps
+- *LGS lösen:* Immer Gauß. Nie Cramer (zu langsam).
+- *Komplexe Zahlen:* $i^2 = -1$. $z = a+b i$. $overline{z} = a-b i$. $|z|^2 = z overline{z} = a^2+b^2$. Polarkoordinaten $r e^(i phi)$.
+- *Nilpotent:* $A^k = 0$. Einziger EW ist 0. Spur ist 0. Nicht invertierbar.
+- *Äquivalenzrelation:* Reflexiv ($x tilde x$), Symmetrisch ($x tilde y => y tilde x$), Transitiv ($x tilde y, y tilde z => x tilde z$). Äquivalenzklassen bilden Partition.
+- *Injektiv:* Kern = $\{0\}$. *Surjektiv:* Bild = Zielraum.