# Solution

## `is_prime`

Zunächst überprüfen wir alle Randbedingungen für `n < 2`

```python
if n < 2:
    return False
```

wir wissen laut definition dass hier die Funktion zu `False` evaluieren soll.


Jetzt wollen wir durch alle Zahlen bis zu unserer Zahl `n` iterieren und schauen ob sich `n` noch anders teilen lässt

```python
for num in range(2, n):
    if n % num == 0:
        return False
```

Wenn `n` durch `num` teilbar ist können wir `False` zurückgeben, da `n` nicht nur durch sich selbst teilbar ist.

Jetzt geben wir noch `True` zurück wenn wir durch die For-Schleife iteriert sind und haben die Funktion.

```python
def is_prime(n: int) -> bool:
    if n < 2:
        return False
    for num in range(2, n):
        if n % num == 0:
            return False
    return True
```

Anmerkung: Wir müssen eigentlich nur alle Zahlen von $2$ bis $\lfloor n / 2 \rfloor$ so wie in der [Musterlösung](./primes.py). Warum?

<details>
<summary>Begründung:</summary>
Naja alle Zahlen größer als die Hälfte unserer zu testenen Zahl n sind keine Ganzzahligen Teiler außer unsere Zahl n selber. Betrachten wir 7, warum müssen wir nur bis 3 testen?

- 7 / 2 > 2
- 7 / 3 > 2
- 7 / 4 < 2
- ...
- 7 / 7 = 1
</details>

## `next_prime`

Wir inkrementieren solange `n` bis `is_prime` erfüllt ist und geben diesen Wert dann zurück.

Iterativ:

- wir speichern uns `n` zwischen und inkrementieren initial
- nun testen wir in einer `While`-Schleife `num` bis diese eine Primzahl ist und geben sie zurück

```python
num += 1
while not is_prime(num):
    num += 1
return num
```

Rekursiv:

- Unsere Abbruchbedingung ist, dass `n + 1` eine Primzahl ist
- Ansonsten müssen wir rekursiv `n` inkrementieren bis wir eine Zahl erreichen die Prim ist

```python
if is_prime(n + 1):
    return n + 1
else:
    return next_prime(n + 1)
```

## `prime_factorize`

Zunächst definieren wir alle Variabeln die wir brauchen

```python
prime_factors: list[int] = [] # unsere Primfaktoren
num = n # damit wir n nicht verändern
prime = 2 # erste Primzahl
```

Nun müssen wir eigentlich nur noch solange `num` durch Primzahlen teilen bis `num == 1` ist.
Wichtig hierbei ist dass eine Primzahl mehrfach vorkommen kann, also müssen wir immer wieder bei `2` anfangen.

```python
while num > 1:
    if num % prime == 0: # wir haben eine primzahl gefunden
        prime_factors.append(prime)
        num //= prime
        prime = 2   # wichtig prime auf 2 zu setzen 
                    # weil wir von vorne suchen müssen
    else: # wenn wir keine passende Primzahl gefunden haben
        prime = next_prime(prime) # dann springen wir zur nächsten
```

Und dann geben wir nur noch die liste `prime_factors` zurück. Diese ist 

- für ungültige Eingaben `n <= 1` leer, da die Schleifenbedingung nie erfüllt ist.
- für Primzahlen `n` genau `[n]`, da Primzahlen nur durch sich selbst Teilbar sind
- oder alle Primfaktoren die also Produkt `n` ergeben