added prime exercise

loops/primes/solution/README.md

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+# Solution
+
+## `is_prime`
+
+Zunächst überprüfen wir alle Randbedingungen für `n < 2`
+
+```python
+if n < 2:
+    return False
+```
+
+wir wissen laut definition dass hier die Funktion zu `False` evaluieren soll.
+
+
+Jetzt wollen wir durch alle Zahlen bis zu unserer Zahl `n` iterieren und schauen ob sich `n` noch anders teilen lässt
+
+```python
+for num in range(2, n):
+    if n % num == 0:
+        return False
+```
+
+Wenn `n` durch `num` teilbar ist können wir `False` zurückgeben, da `n` nicht nur durch sich selbst teilbar ist.
+
+Jetzt geben wir noch `True` zurück wenn wir durch die For-Schleife iteriert sind und haben die Funktion.
+
+```python
+def is_prime(n: int) -> bool:
+    if n < 2:
+        return False
+    for num in range(2, n):
+        if n % num == 0:
+            return False
+    return True
+```
+
+Anmerkung: Wir müssen eigentlich nur alle Zahlen von $2$ bis $\lfloor n / 2 \rfloor$ so wie in der [Musterlösung](./primes.py). Warum?
+
+<details>
+<summary>Begründung:</summary>
+Naja alle Zahlen größer als die Hälfte unserer zu testenen Zahl n sind keine Ganzzahligen Teiler außer unsere Zahl n selber. Betrachten wir 7, warum müssen wir nur bis 3 testen?
+
+- 7 / 2 > 2
+- 7 / 3 > 2
+- 7 / 4 < 2
+- ...
+- 7 / 7 = 1
+</details>
+
+## `next_prime`
+
+Wir inkrementieren solange `n` bis `is_prime` erfüllt ist und geben diesen Wert dann zurück.
+
+Iterativ:
+
+- wir speichern uns `n` zwischen und inkrementieren initial
+- nun testen wir in einer `While`-Schleife `num` bis diese eine Primzahl ist und geben sie zurück
+
+```python
+num += 1
+while not is_prime(num):
+    num += 1
+return num
+```
+
+Rekursiv:
+
+- Unsere Abbruchbedingung ist, dass `n + 1` eine Primzahl ist
+- Ansonsten müssen wir rekursiv `n` inkrementieren bis wir eine Zahl erreichen die Prim ist
+
+```python
+if is_prime(n + 1):
+    return n + 1
+else:
+    return next_prime(n + 1)
+```
+
+## `prime_factorize`
+
+Zunächst definieren wir alle Variabeln die wir brauchen
+
+```python
+prime_factors: list[int] = [] # unsere Primfaktoren
+num = n # damit wir n nicht verändern
+prime = 2 # erste Primzahl
+```
+
+Nun müssen wir eigentlich nur noch solange `num` durch Primzahlen teilen bis `num == 1` ist.
+Wichtig hierbei ist dass eine Primzahl mehrfach vorkommen kann, also müssen wir immer wieder bei `2` anfangen.
+
+```python
+while num > 1:
+    if num % prime == 0: # wir haben eine primzahl gefunden
+        prime_factors.append(prime)
+        num //= prime
+        prime = 2   # wichtig prime auf 2 zu setzen 
+                    # weil wir von vorne suchen müssen
+    else: # wenn wir keine passende Primzahl gefunden haben
+        prime = next_prime(prime) # dann springen wir zur nächsten
+```
+
+Und dann geben wir nur noch die liste `prime_factors` zurück. Diese ist 
+
+- für ungültige Eingaben `n <= 1` leer, da die Schleifenbedingung nie erfüllt ist.
+- für Primzahlen `n` genau `[n]`, da Primzahlen nur durch sich selbst Teilbar sind
+- oder alle Primfaktoren die also Produkt `n` ergeben
+

loops/primes/solution/primes.py

@@ -0,0 +1,36 @@
+def is_prime(n: int) -> bool:
+    if n < 2:
+        return False
+
+    for i in range(2, n // 2 + 1):
+        if n % i == 0:
+            return False
+
+    return True
+
+
+def next_prime(n: int) -> int:
+    return n + 1 if is_prime(n + 1) else next_prime(n + 1)
+
+
+def next_prime_iterative(n: int) -> int:
+    num = n + 1
+    while not is_prime(num):
+        num += 1
+    return num
+
+def prime_factorize(n: int) -> list[int]:
+    prime_factors: list[int] = []
+    num = n
+    prime = 2
+    while num > 1:
+        if num % prime == 0:
+            prime_factors.append(prime)
+            num //= prime
+            prime = 2
+        else:
+            prime = next_prime(prime)
+    return prime_factors
+
+if __name__ == "__main__":
+    prime_factorize(10)